4. Navier-Stokes方程

文档B站视频讲解：

LBM求解Couette(库埃特)流动：Zou-He与非平衡外推边界条件

LBM求解泊肃叶(Poiseuille)流动

这节我们介绍一下NS方程的格子玻尔兹曼方法实现。

4.1. 什么是Navier-Stokes方程?

Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，它是由Navier和Stokes两位科学家在19世纪提出的,形式如下:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{u}) = 0 \]

\[ \frac{\partial (\rho \boldsymbol{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{u} \boldsymbol{u}) = -\nabla p + \nabla \cdot \left[\mu (\nabla \boldsymbol{u} + \nabla \boldsymbol{u}^T) + \lambda \left(\nabla \cdot \boldsymbol{u} \right)\mathbf{I}\right] + \boldsymbol{F} \]

其中\(\rho\)是密度，\(\boldsymbol{u}\)是速度，\(p\)是压力，\(\mu\)是动力粘度，\(\lambda\)是第二粘度系数，\(\boldsymbol{F}\)是外力。

对于不可压缩流体，密度\(\rho\)为常数，并且不考虑外力，那么NS方程可以简化为：

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{u} = 0 \]

\[ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \boldsymbol{u} \]

4.2. NS方程的D2Q9模型

NS方程的求解一般采用D2Q9模型，其与扩散方程、对流扩散方程的区别仅在于速度的计算和平衡态分布函数为：

\[ f_i^\mathrm{eq}(\rho,\boldsymbol{u}) = w_i \rho\left[1 + \frac{\boldsymbol{e_i\cdot u}}{c^2_s}+\frac{(\boldsymbol{e_i\cdot u})^2}{2c^4_s} - \frac{\boldsymbol{u}^2}{2c^2_s}\right] \]

\[ \rho\boldsymbol{u} = \sum_i f_i \boldsymbol{e_i} \]

九个离散速度

\[\begin{split} e_i = \left\{ \begin{aligned} &0, \quad i=0 \\ &c\left[\cos \frac{\pi (i-1)}{2}, \sin \frac{\pi (i-1)}{2}\right], \quad i=1,2,3,4 \\ &\sqrt{2}c\left( \cos \left[ (2i -1)\frac{\pi}{4} \right] ,\sin \left[ (2i -1)\frac{\pi}{4} \right] \right), \quad i=5,6,7,8 \end{aligned} \right. \end{split}\]

对应的权重

\[ w_0 = 4/9, \quad w_{1-4} = 1/9, \quad w_{5-8} = 1/36 \]

演化方程

\[ f_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{e}_i \delta_t,t+\delta_t)=f_i(\boldsymbol{x},t)-\frac{1}{\tau}[f_i(\boldsymbol{x},t)-f_i^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol{x},t)] \]

也可以写成如下的形式：

\[ f_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{e}_i \delta_t,t+\delta_t)=(1-\omega) f_i(\boldsymbol{x},t)+\omega f_i^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol{x},t) \]

其中\(\omega = 1/\tau\)。

宏观量

\[ \rho= \sum_i f_i, \quad p=\rho c^2_s \]

运动粘度

\[ \nu = \frac{\delta _x^2}{3\delta_t}\left(\tau - \frac{1}{2}\right) \]

4.3. 应用：库埃特流动

4.3.1. 解析解

库埃特流动是一种经典的流体力学问题，是一种瞬态流动，流体在两个平行板之间流动，上板以速度\(U\)向右移动，下板静止，流体在两板之间流动，从静止时刻开始，流体的速度分布随时间的演化为：

\[ u_x(y,t) = U\frac{y}{H}-\frac{2U}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\exp\left({-n^2\pi^2\frac{\nu t}{H^2}}\right)\sin \left[n\pi\left(1-\frac{y}{H}\right)\right] \]

其中\(H\)是两板之间的距离，\(\nu\)是运动粘度。