# 作用力模型

文档B站视频讲解：
> [LBM中的单松弛作用力模型](https://www.bilibili.com/video/BV166rvBTExE/)

## 单松弛作用力模型
**标准LBGK碰撞方程为：**

$$
f_i^*(\boldsymbol{x}, t) = f_i(\boldsymbol{x}, t) - \frac{1}{\tau} \left[ f_i(\boldsymbol{x}, t) - f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u}) \right]
$$

其中平衡态分布函数 $f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u})$的形式为：

$$
f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u}) = w_i \rho \left[ 1 + \frac{\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{u}}{c_s^2} + \frac{(\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{u})^2}{2 c_s^4} - \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u}}{2 c_s^2} \right]
$$

**迁移步为：**

$$
f_i(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{e}_i \Delta t, t + \Delta t) = f_i^*(\boldsymbol{x}, t)
$$

**宏观量的计算：**

$$
\rho = \sum_i f_i, \quad \boldsymbol{u} = \
\frac{\sum_i f_i \boldsymbol{e}_i}{\rho}
$$

符号定义为：
*   $f_i(\boldsymbol{x}, t)$: 位置 $\boldsymbol{x}$、时刻 $t$ 的分布函数
*   $f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u})$: 平衡态分布函数
*   $\boldsymbol{F}$: 作用在节点上的力
*   $\boldsymbol{u}$: 宏观速度
*   $\tau$: 弛豫时间，与粘度相关 $\nu = \delta_t c_s^2 (\tau - 0.5)$

### Guo et al. (2002) 格式
文献：Guo Z, Zheng C, Shi B. Discrete lattice effects on the forcing term in the lattice Boltzmann method[J]. Physical Review E, 2002, 65(4): 046308.

这是最标准、应用最广泛的模型，通过严格推导消除了离散晶格效应。

*   **碰撞方程**：
    在标准 LBGK 方程中加入源项 $S_i$：

    $$
    f_i(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{e}_i \Delta t, t + \Delta t) = f_i(\boldsymbol{x}, t) - \frac{1}{\tau} \left[ f_i(\boldsymbol{x}, t) - f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u}) \right] + \Delta t S_i
    $$

    $$
    S_i = \left( 1 - \frac{1}{2\tau} \right) w_i \left[ \frac{\boldsymbol{e}_i - \boldsymbol{u}}{c_s^2} + \frac{(\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{u})}{c_s^4}\boldsymbol{e}_i \right] \cdot \boldsymbol{F}
    $$

*   **宏观速度计算**：
    实际的流体宏观速度 $\boldsymbol{u}$ 必须包含半步长的力修正：

    $$
    \boldsymbol{u} = \frac{\sum f_i \boldsymbol{e}_i}{\rho} + \frac{\Delta t \boldsymbol{F}}{2\rho}
    $$

### He et al. (1998) 格式
文献：He X, Shan X, Doolen G D. Discrete Boltzmann equation model for nonideal gases[J]. Physical Review E, 1998, 57(1): R13-R16.

该作用力格式在低马赫数下与Guo et al. (2002)的作用力格式一致
*   **碰撞方程**：
    在标准 LBGK 方程中加入源项 $S_i$：

    $$
    f_i(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{e}_i \Delta t, t + \Delta t) = f_i(\boldsymbol{x}, t) - \frac{1}{\tau} \left[ f_i(\boldsymbol{x}, t) - f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u}) \right] + \Delta t S_i
    $$

    $$
    S_i = \left( 1 - \frac{1}{2\tau} \right) \frac{\boldsymbol{F} \cdot (\boldsymbol{e}_i - \boldsymbol{u})}{\rho c_s^2} f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u})
    $$

*   **宏观速度计算**：
    实际的流体宏观速度 $\boldsymbol{u}$ 必须包含半步长的力修正：

    $$
    \boldsymbol{u} = \frac{\sum f_i \boldsymbol{e}_i}{\rho} + \frac{\Delta t \boldsymbol{F}}{2\rho}
    $$

### Exact Difference Method (EDM)
文献：Kupershtokh A L, Medvedev D A, Karpov D I. On equations of state in a lattice Boltzmann method[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2009, 58(5): 965-974.

由Kupershtokh et al. (2009)提出，常用于多相流和高密度比模拟。

*   **碰撞方程**：

    $$
        f_i(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{e}_i \Delta t, t + \Delta t) = f_i(\boldsymbol{x}, t) - \frac{1}{\tau} \left[ f_i(\boldsymbol{x}, t) - f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u}^*) \right]+ \Delta S_i^\mathrm{EDM}
    $$

    $$
    \Delta S_i^\mathrm{EDM} = f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u}^* + \Delta \boldsymbol{u}) - f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u}^*)
    $$
    其中$\boldsymbol{u}^* = \frac{\sum f_i \boldsymbol{e}_i}{\rho}$ 是原始矩这一时刻的速度，$\Delta \boldsymbol{u} = \frac{\boldsymbol{F} \Delta t}{\rho}$是由于力产生的速度增量。

*   **宏观速度**：

    $$
    \boldsymbol{u} = \frac{\sum f_i \boldsymbol{e}_i}{\rho} + \frac{\Delta t \boldsymbol{F}}{2\rho}
    $$

*   **特点**：
    非常稳健，不需要计算复杂的梯度项，直接利用平衡态函数的稳定性。

### Shan-Chen (1993) 格式
文献：Shan X, Chen H. Lattice Boltzmann model for simulating flows with multiple phases and components[J]. Physical Review E, 1993, 47(3): 1815.

这是经典的 LBM 多相流模型（SC模型）中原本采用的受力方式。它不是添加源项 $S_i$，而是通过**修改平衡态速度**来引入力的作用。
*   **碰撞方程**：

    $$
        f_i(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{e}_i \Delta t, t + \Delta t) = f_i(\boldsymbol{x}, t) - \frac{1}{\tau} \left[ f_i(\boldsymbol{x}, t) - f_i^\mathrm{eq}(\rho, \boldsymbol{u}^\mathrm{eq}) \right]
    $$

    我们不再修改碰撞方程的形式，而是用一个新的“平衡态速度”$\boldsymbol{u}^\mathrm{eq}$ 来计算 $f_i^\mathrm{eq}$：

    $$
    \boldsymbol{u}^\mathrm{eq} = \frac{\sum f_i \boldsymbol{e}_i}{\rho} + \frac{\tau \boldsymbol{F}}{\rho}
    $$

*   **宏观速度**：
    注意：在标准的 Shan-Chen 实现中，模拟过程中的宏观速度的定义仍为原始矩 

    $$
    \boldsymbol{u} = \frac{\sum f_i \boldsymbol{e}_i}{\rho}
    $$

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## 多松弛作用力模型

未完待续...

## 代码下载
[单松弛作用力模型.zip](https://raw.githubusercontent.com/JR-LBM-THU/JRLBM-tutorial/main/docs/source/LBM模型速查/files/单松弛作用力模型.zip)

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