# 离散速度模型

文档B站视频讲解：
> [LBM中的离散速度模型](https://www.bilibili.com/video/BV1iXBEBVE6N/)


## 符号说明

* $D$：空间维度 (Dimension)
* $Q$：离散速度的数量 (Quantity of discrete velocities)
* $c$：格子速度，通常取 $c = \Delta x / \Delta t = 1$
* $c_s^2$：格子声速的平方 (Speed of sound squared)
* $w_i$：权重系数 (Weights)
* $e_i$：离散速度矢量 (Discrete velocity vectors)

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## 一维模型 (1D Models)

### D1Q2
通常用于简单的一维对流扩散方程。该模型没有静止粒子。

* **声速平方 ($c_s^2$):** $1$ 
* **总方向数:** 2

| 索引 ($i$) | 速度矢量 ($e_i$) | 权重 ($w_i$) |
| :--- | :--- | :--- |
| 1 | $1$ | $1/2$ |
| 2 | $-1$ | $1/2$ |

### D1Q3
一维流体动力学的标准模型，包含静止粒子。

* **声速平方 ($c_s^2$):** $1/3$
* **总方向数:** 3

| 索引 ($i$) | 速度矢量 ($e_i$) | 权重 ($w_i$) |
| :--- | :--- | :--- |
| 0 | $0$ | $2/3$ |
| 1 | $1$ | $1/6$ |
| 2 | $-1$ | $1/6$ |

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## 二维模型 (2D Models)
### D2Q4
包含四个轴向速度，无静止粒子。

* **声速平方 ($c_s^2$):** $1/2$
* **总方向数:** 4

| 索引 ($i$) | 速度矢量 ($e_i$) | 权重 ($w_i$) |
| :--- | :--- | :--- |
| 1 | $(1, 0)$ | $1/4$ |
| 2 | $(0, 1)$ | $1/4$ |
| 3 | $(-1, 0)$ | $1/4$ |
| 4 | $(0, -1)$ | $1/4$ |

### D2Q5
包含静止粒子和四个轴向速度。常用于对流扩散方程。

* **声速平方 ($c_s^2$):** $1/3$
* **总方向数:** 5

| 索引 ($i$) | 速度矢量 ($e_i$) | 权重 ($w_i$) |
| :--- | :--- | :--- |
| 0 | $(0, 0)$ | $1/3$ |
| 1 | $(1, 0)$ | $1/6$ |
| 2 | $(0, 1)$ | $1/6$ |
| 3 | $(-1, 0)$ | $1/6$ |
| 4 | $(0, -1)$ | $1/6$ |

### D2Q9 (标准二维流体模型)
最常用的二维Navier-Stokes方程求解模型。

* **声速平方 ($c_s^2$):** $1/3$
* **总方向数:** 9

| 类型 | 索引 ($i$) | 速度矢量 ($e_i$) | 权重 ($w_i$) |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **静止** | 0 | $(0, 0)$ | $4/9$ |
| **轴向** | 1 | $(1, 0)$ | $1/9$ |
| | 2 | $(0, 1)$ | $1/9$ |
| | 3 | $(-1, 0)$ | $1/9$ |
| | 4 | $(0, -1)$ | $1/9$ |
| **对角** | 5 | $(1, 1)$ | $1/36$ |
| | 6 | $(-1, 1)$ | $1/36$ |
| | 7 | $(-1, -1)$ | $1/36$ |
| | 8 | $(1, -1)$ | $1/36$ |

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## 三维模型 (3D Models)

```{figure} fig/离散速度模型.png
:width: 50%
:alt: logo
:align: center
三维离散速度模型示意图（红色为轴向方向，蓝色为平面对角，绿色为空间对角）
```
### D3Q15
由静止粒子(1)、轴向(6)和空间对角线(8)组成。

* **声速平方 ($c_s^2$):** $1/3$
* **总方向数:** 15

| 类型 | 索引 ($i$) | 速度矢量 ($e_i$) | 权重 ($w_i$) |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **静止** | 0 | $(0, 0, 0)$ | $2/9$ |
| **轴向** | 1 | $(1, 0, 0)$ | $1/9$ |
| | 2 | $(-1, 0, 0)$ | $1/9$ |
| | 3 | $(0, 1, 0)$ | $1/9$ |
| | 4 | $(0, -1, 0)$ | $1/9$ |
| | 5 | $(0, 0, 1)$ | $1/9$ |
| | 6 | $(0, 0, -1)$ | $1/9$ |
| **空间对角** | 7 | $(1, 1, 1)$ | $1/72$ |
| | 8 | $(-1, 1, 1)$ | $1/72$ |
| | 9 | $(1, -1, 1)$ | $1/72$ |
| | 10 | $(-1, -1, 1)$ | $1/72$ |
| | 11 | $(1, 1, -1)$ | $1/72$ |
| | 12 | $(-1, 1, -1)$ | $1/72$ |
| | 13 | $(1, -1, -1)$ | $1/72$ |
| | 14 | $(-1, -1, -1)$ | $1/72$ |

### D3Q19
最常用的三维流体模型。由静止粒子(1)、轴向(6)和平面对角线(12)组成。

* **声速平方 ($c_s^2$):** $1/3$
* **总方向数:** 19

| 类型 | 索引 ($i$) | 速度矢量 ($e_i$) | 权重 ($w_i$) |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **静止** | 0 | $(0, 0, 0)$ | $1/3$ |
| **轴向** | 1 | $(1, 0, 0)$ | $1/18$ |
| | 2 | $(-1, 0, 0)$ | $1/18$ |
| | 3 | $(0, 1, 0)$ | $1/18$ |
| | 4 | $(0, -1, 0)$ | $1/18$ |
| | 5 | $(0, 0, 1)$ | $1/18$ |
| | 6 | $(0, 0, -1)$ | $1/18$ |
| **平面对角** | 7 | $(1, 1, 0)$ | $1/36$ |
| | 8 | $(-1, 1, 0)$ | $1/36$ |
| | 9 | $(1, -1, 0)$ | $1/36$ |
| | 10 | $(-1, -1, 0)$ | $1/36$ |
| | 11 | $(1, 0, 1)$ | $1/36$ |
| | 12 | $(-1, 0, 1)$ | $1/36$ |
| | 13 | $(1, 0, -1)$ | $1/36$ |
| | 14 | $(-1, 0, -1)$ | $1/36$ |
| | 15 | $(0, 1, 1)$ | $1/36$ |
| | 16 | $(0, -1, 1)$ | $1/36$ |
| | 17 | $(0, 1, -1)$ | $1/36$ |
| | 18 | $(0, -1, -1)$ | $1/36$ |

### D3Q27
包含完整的 $3 \times 3 \times 3$ 邻域。由静止(1)、轴向(6)、平面对角(12)、空间对角(8)组成。

* **声速平方 ($c_s^2$):** $1/3$
* **总方向数:** 27

| 类型 | 索引 ($i$) | 速度矢量 ($e_i$) | 权重 ($w_i$) |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **静止** | 0 | $(0, 0, 0)$ | $8/27$ |
| **轴向** | 1 | $(1, 0, 0)$ | $2/27$ |
| | 2 | $(-1, 0, 0)$ | $2/27$ |
| | 3 | $(0, 1, 0)$ | $2/27$ |
| | 4 | $(0, -1, 0)$ | $2/27$ |
| | 5 | $(0, 0, 1)$ | $2/27$ |
| | 6 | $(0, 0, -1)$ | $2/27$ |
| **平面对角** | 7 | $(1, 1, 0)$ | $1/54$ |
| | 8 | $(-1, 1, 0)$ | $1/54$ |
| | 9 | $(1, -1, 0)$ | $1/54$ |
| | 10 | $(-1, -1, 0)$ | $1/54$ |
| | 11 | $(1, 0, 1)$ | $1/54$ |
| | 12 | $(-1, 0, 1)$ | $1/54$ |
| | 13 | $(1, 0, -1)$ | $1/54$ |
| | 14 | $(-1, 0, -1)$ | $1/54$ |
| | 15 | $(0, 1, 1)$ | $1/54$ |
| | 16 | $(0, -1, 1)$ | $1/54$ |
| | 17 | $(0, 1, -1)$ | $1/54$ |
| | 18 | $(0, -1, -1)$ | $1/54$ |
| **空间对角** | 19 | $(1, 1, 1)$ | $1/216$ |
| | 20 | $(-1, 1, 1)$ | $1/216$ |
| | 21 | $(1, -1, 1)$ | $1/216$ |
| | 22 | $(-1, -1, 1)$ | $1/216$ |
| | 23 | $(1, 1, -1)$ | $1/216$ |
| | 24 | $(-1, 1, -1)$ | $1/216$ |
| | 25 | $(1, -1, -1)$ | $1/216$ |
| | 26 | $(-1, -1, -1)$ | $1/216$ |

## 参考文献
1. Qian Y H, Dhumieres D, Lallemand P. Lattice BGK Models for Navier-Stokes Equation[J]. Europhysics Letters, 1992, 17(6BIS): 479-484.
2. 何雅玲, 王勇, 李庆. 格子Boltzmann方法的理论应用 : Lattice Boltzmann method : theory and applications[M]. 北京: 科学出版社, 2023.
3. Amir B , Daniel H , Gregory U L .Simulation of particle resuspension by wind in an urban system[J].Environmental fluid mechanics, 2023, 23(1):41-63.

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