2. CE展开：对流扩散方程

文档B站视频讲解：

红色为相对于扩散方程增加的内容

蓝色为误差项

2.1. LBM求解对流扩散方程模型介绍

演化方程：

(1)\[f_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{e}_i\delta _t,t+\delta _t)-f_i(\boldsymbol{x},t)=-\frac{1}{\tau}\left[ f_i(\boldsymbol{x},t)-f_{i}^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol{x},t) \right]\]

平衡态分布函数：

(2)\[f_{i}^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol{x},t)=w_iT\left( 1+\frac{\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}\cdot \boldsymbol{u}}{c_{s}^{2}} \right) \]

宏观量计算：

(3)\[T=\sum_i{f_i}\]

注：由平衡态分布函数可以得到

(4)\[{\color[RGB]{240, 0, 0} \sum_i{f_{i}^{\mathrm{eq}}}=T, \sum_i{\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}f_{i}^{\mathrm{eq}}}=\boldsymbol{u}T, \sum_i{\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}f_{i}^{\mathrm{eq}}}=Tc_{s}^{2}\mathbf{I}}\]

2.2. CE展开的基本假设

\(f_i\)可以展开为如下的形式：

(5)\[f_i=f_{i}^{\mathrm{eq}}+\varepsilon f_{i}^{(1)}+\varepsilon ^2f_{i}^{(2)}+\cdots \]

时间导数可以展开为如下的形式：

(6)\[\frac{\partial}{\partial t}=\varepsilon \frac{\partial}{\partial t_1}+\varepsilon ^2\frac{\partial}{\partial t_2}+\cdots \]

空间导数则只有一阶展开：

(7)\[\nabla =\varepsilon \nabla _1\]

2.3. CE展开

将式(1)左侧进行泰勒展开得到：

(8)\[\delta _t\boldsymbol{D}_{\boldsymbol{i}}f_i+\frac{\delta _{t}^{2}}{2}\left( \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{i}} \right) ^2f_i=-\frac{1}{\tau}\left[ f_i\left( \boldsymbol{x},t \right) -f_{i}^{\mathrm{eq}}\left( \boldsymbol{x},t \right) \right] \]

其中\(\boldsymbol{D}_i=\left( \partial_t+\boldsymbol{e}_i \cdot \nabla \right)\)，将式(5)，(6)和(7)代入上式得到：

(9)\[\begin{split}\left( \varepsilon \partial _{t_1}+\varepsilon ^2\partial _{t_2}+\varepsilon \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}\cdot \nabla _1 \right) \left( f_{i}^{\mathrm{eq}}+\varepsilon f_{i}^{\left( 1 \right)}+\varepsilon ^2f_{i}^{\left( 2 \right)} \right) \\ +\frac{\delta _t}{2}\left( \varepsilon \partial _{t_1}+\varepsilon ^2\partial _{t_2}+\varepsilon \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}\cdot \nabla _1 \right) ^2\left( f_{i}^{\mathrm{eq}}+\varepsilon f_{i}^{\left( 1 \right)}+\varepsilon ^2f_{i}^{\left( 2 \right)} \right) \\ =-\frac{1}{\tau \delta _t}\left( \varepsilon f_{i}^{\left( 1 \right)}+\varepsilon ^2f_{i}^{\left( 2 \right)} \right) \end{split}\]

CE展开中的一个基本准则：对于一个等式，其\(\varepsilon\)的各阶也要分别相等。举例，对于一个等式：

(10)\[A\varepsilon +B\varepsilon ^2=C\varepsilon +D\varepsilon ^2\]

则其中暗含了：\(A=C\)，\(B=D\)。

基于此准则，我们整理了式(9)中\(\varepsilon\)的各阶项：

\(\varepsilon^1\)

(11)\[\boldsymbol{D}_{1\boldsymbol{i}}f_{i}^{\mathrm{eq}}=\left( \partial _{t1}+\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}\cdot \nabla _1 \right) f_{i}^{\mathrm{eq}}=-\frac{1}{\tau \delta _t}f_{i}^{\left( 1 \right)}\]

\(\varepsilon^2\)

(12)\[\partial _{t2}f_{i}^{\mathrm{eq}}+\boldsymbol{D}_{1\boldsymbol{i}}f_{i}^{\left( 1 \right)}+\frac{\delta _t}{2}\left( \boldsymbol{D}_{1\boldsymbol{i}} \right) ^2f_{i}^{\mathrm{eq}}=-\frac{1}{\tau \delta _t}f_{i}^{\left( 2 \right)}\]

根据式(11)可以将式(12)化简：

(13)\[\partial _{t_2}f_{i}^{\mathrm{eq}}+\boldsymbol{D}_{1\boldsymbol{i}}\left[ \left( 1-\frac{1}{2\tau} \right) f_{i}^{\left( 1 \right)} \right] =-\frac{1}{\tau \delta _t}f_{i}^{\left( 2 \right)}\]

同时，结合式(3)和(5)，我们使用基本准则，可以得到：

(14)\[\sum_i{f_{i}^{\left( n \right)}}=0 \quad \forall n\geqslant 1\]

对式(11)求0阶矩得到：

(15)\[\frac{\partial T}{\partial t_1}{\color[RGB]{240, 0, 0} +\nabla _1\left( \boldsymbol{u}T \right) }=0\]

对式(11)求1阶矩得到：

(16)\[{\color[RGB]{240, 0, 0} \frac{\partial \left( \boldsymbol{u}T \right)}{\partial t_1}+}c_{s}^{2}\nabla _1T=-\frac{1}{\tau \delta _t}\sum_i{\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}f_{i}^{\left( 1 \right)}}\]

对式(13)求0阶矩得到：

(17)\[\frac{\partial T}{\partial t_2}+\nabla _1\left[ \left( 1-\frac{1}{2\tau} \right) \sum_i{\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}f_{i}^{\left( 1 \right)}} \right] =0\]

使用式(16)化简上式得到：

(18)\[\frac{\partial T}{\partial t_2}=\nabla _1\left[ c_{s}^{2}\delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \nabla _1T \right] {\color[RGB]{240, 0, 0} +\nabla _1\left[ \delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \frac{\partial \left( \boldsymbol{u}T \right)}{\partial t_1} \right] }\]

考虑式(15)和式(18)得到：

(19)\[\begin{split}\varepsilon \frac{\partial T}{\partial t_1}+\varepsilon ^2\frac{\partial T}{\partial t_2}{\color[RGB]{240, 0, 0} +\varepsilon \nabla _1\left( \boldsymbol{u}T \right) }= \\ \varepsilon ^2\left\{ \nabla _1\left[ c_{s}^{2}\delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \nabla _1T \right] {\color[RGB]{240, 0, 0} +\nabla _1\left[ \delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \frac{\partial \left( \boldsymbol{u}T \right)}{\partial t_1} \right] } \right\}\end{split}\]

最终得到宏观方程：

(20)\[\frac{\partial T}{\partial t}{\color[RGB]{240, 0, 0} +\nabla \left( \boldsymbol{u}T \right) }=\nabla \left[ c_{s}^{2}\delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \nabla T \right] {\color[RGB]{0, 0, 240} +\varepsilon \nabla \left[ \delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \frac{\partial \left( \boldsymbol{u}T \right)}{\partial t_1} \right] }\]

其中，对于D1Q3离散速度：

(21)\[c_{s}^{2}\delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) =\frac{\delta _{x}^{2}}{3\delta _t}\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \equiv \alpha \]

忽略误差项后可得：

(22)\[{\color[RGB]{240, 0, 0} \frac{\partial T}{\partial t}+\nabla \left( \boldsymbol{u}T \right) =\nabla \left( \alpha \nabla T \right) }\]

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