1. CE展开：扩散方程
文档B站视频讲解：
1.1. LBM求解扩散方程模型介绍
演化方程：
(1)\[f_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{e}_i\delta _t,t+\delta _t)-f_i(\boldsymbol{x},t)=-\frac{1}{\tau}\left[ f_i(\boldsymbol{x},t)-f_{i}^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol{x},t) \right]\]
平衡态分布函数：
(2)\[f_{i}^{\mathrm{eq}}(\boldsymbol{x},t)=w_iT\]
宏观量计算：
(3)\[T=\sum_i{f_i}\]
1.2. CE展开的基本假设
\(f_i\)可以展开为如下的形式：
(4)\[f_i=f_{i}^{\mathrm{eq}}+\varepsilon f_{i}^{(1)}+\varepsilon ^2f_{i}^{(2)}+\cdots \]
时间导数可以展开为如下的形式：
(5)\[\frac{\partial}{\partial t}=\varepsilon \frac{\partial}{\partial t_1}+\varepsilon ^2\frac{\partial}{\partial t_2}+\cdots \]
空间导数则只有一阶展开：
(6)\[\nabla =\varepsilon \nabla _1\]
1.3. CE展开
将式(1)左侧进行泰勒展开得到：
(7)\[\delta _t\boldsymbol{D}_{\boldsymbol{i}}f_i+\frac{\delta _{t}^{2}}{2}\left( \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{i}} \right) ^2f_i=-\frac{1}{\tau}\left[ f_i\left( \boldsymbol{x},t \right) -f_{i}^{\mathrm{eq}}\left( \boldsymbol{x},t \right) \right] \]
其中\(\boldsymbol{D}_i=\left( \partial_t+\boldsymbol{e}_i \cdot \nabla \right)\)，将式(4)，(5)和(6)代入上式得到：
(8)\[\begin{split}\left( \varepsilon \partial _{t_1}+\varepsilon ^2\partial _{t_2}+\varepsilon \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}\cdot \nabla _1 \right) \left( f_{i}^{\mathrm{eq}}+\varepsilon f_{i}^{\left( 1 \right)}+\varepsilon ^2f_{i}^{\left( 2 \right)} \right)
\\
+\frac{\delta _t}{2}\left( \varepsilon \partial _{t_1}+\varepsilon ^2\partial _{t_2}+\varepsilon \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}\cdot \nabla _1 \right) ^2\left( f_{i}^{\mathrm{eq}}+\varepsilon f_{i}^{\left( 1 \right)}+\varepsilon ^2f_{i}^{\left( 2 \right)} \right)
\\
=-\frac{1}{\tau \delta _t}\left( \varepsilon f_{i}^{\left( 1 \right)}+\varepsilon ^2f_{i}^{\left( 2 \right)} \right) \end{split}\]
CE展开中的一个基本准则：对于一个等式，其\(\varepsilon\)的各阶也要分别相等。举例，对于一个等式：
(9)\[A\varepsilon +B\varepsilon ^2=C\varepsilon +D\varepsilon ^2\]
则其中暗含了：\(A=C\)，\(B=D\)。
基于此准则，我们整理了式(8)中\(\varepsilon\)的各阶项：
\(\varepsilon^1\)
(10)\[\boldsymbol{D}_{1\boldsymbol{i}}f_{i}^{\mathrm{eq}}=\left( \partial _{t1}+\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}\cdot \nabla _1 \right) f_{i}^{\mathrm{eq}}=-\frac{1}{\tau \delta _t}f_{i}^{\left( 1 \right)}\]
\(\varepsilon^2\)
(11)\[\partial _{t2}f_{i}^{\mathrm{eq}}+\boldsymbol{D}_{1\boldsymbol{i}}f_{i}^{\left( 1 \right)}+\frac{\delta _t}{2}\left( \boldsymbol{D}_{1\boldsymbol{i}} \right) ^2f_{i}^{\mathrm{eq}}=-\frac{1}{\tau \delta _t}f_{i}^{\left( 2 \right)}\]
(12)\[\partial _{t_2}f_{i}^{\mathrm{eq}}+\boldsymbol{D}_{1\boldsymbol{i}}\left[ \left( 1-\frac{1}{2\tau} \right) f_{i}^{\left( 1 \right)} \right] =-\frac{1}{\tau \delta _t}f_{i}^{\left( 2 \right)}\]
(13)\[\sum_i{f_{i}^{\left( n \right)}}=0 \forall n\geqslant 1\]
对式(10)求0阶矩得到：
(14)\[\frac{\partial T}{\partial t_1}=0\]
对式(10)求1阶矩得到：
(15)\[c_{s}^{2}\nabla _1T=-\frac{1}{\tau \delta _t}\sum_i{\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}f_{i}^{\left( 1 \right)}}\]
对式(12)求0阶矩得到：
(16)\[\frac{\partial T}{\partial t_2}+\nabla _1\left[ \left( 1-\frac{1}{2\tau} \right) \sum_i{\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{i}}f_{i}^{\left( 1 \right)}} \right] =0\]
使用式(15)化简上式得到：
(17)\[\frac{\partial T}{\partial t_2}=\nabla _1\left[ c_{s}^{2}\delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \nabla _1T \right] \]
(18)\[\varepsilon \frac{\partial T}{\partial t_1}+\varepsilon ^2\frac{\partial T}{\partial t_2}=\varepsilon ^2\left\{ \nabla _1\left[ c_{s}^{2}\delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \nabla _1T \right] \right\} \]
最终得到宏观方程：
(19)\[\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla \left[ c_{s}^{2}\delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \nabla T \right] \]
其中，对于D1Q3离散速度：
(20)\[c_{s}^{2}\delta _t\left( \tau -\frac{1}{2} \right) =\frac{\delta _{x}^{2}}{3\delta _t}\left( \tau -\frac{1}{2} \right) \equiv \alpha \]
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